欧拉路径是什么？这得从一个故事讲起：在某一天，大数学家欧拉看到了一道报纸上的数学题，他觉得这道题目非常有趣，大家都在尝试解决，可至今还没有人做出来。题目是这样的：有 $4$ 个岛屿和河岸（都一样），其中有 $7$ 座桥连接着这 $4$ 个岸，大概长这样——

人们想从任意一个岸出发，经过所有的岸以游览风景。可是为了使游览更加快捷，有没有一种游览路线，使得能达到所有的岸，而只经过每座桥一次呢？你可以先试试。这就是著名的七桥问题。那么，七桥问题究竟有没有解呢？

如果你认真地模拟了七桥问题试图构造一种符合条件的游览路线，你就会发现这个过程其实就是我们熟知的小游戏：

这样理解起来就方便许多了。不过，你依然抱有疑惑：为什么怎么样都解不出来呢？如果你请一位一笔画的“民间高手”来解决这个问题，他依然会在原地打转半个小时；不过，如果你让一位精通图论的 OIer 来做这道题，他会在 $30$ 秒之内告诉你：绝杀无解，输出 $\texttt{-1}$！

如果我们将上面的图片抽象（转化）成一张无向图，那么问题就变成了：在一张无向图中，找到一条从点 $a$ 到点 $b$ 的路径，使得在路径上能经过图中的所有的边恰好一次。那么，如何快速地找到一条这样的路径呢？